Деление – это арифметическое действие, которое показывает, сколько равных частей получится из данного количества или сколько раз одно число содержится в другом. Запись 20 : 5 = 4 можно понимать двумя способами: двадцать предметов распределили поровну между пятью группами, либо выяснили, сколько групп по пять помещается в двадцати.
Как называются части записи
В равенстве 20 : 5 = 4 число 20 называется делимым, 5 – делителем, а 4 – частным. Делимое представляет количество, которое делят. Делитель задаёт число групп или размер одной группы в зависимости от смысла задачи. Частное сообщает результат.
Для деления используют двоеточие, горизонтальную дробную черту или знак ÷. Записи 20 : 5, 20/5 и дробь с числителем 20 и знаменателем 5 выражают одно отношение. В программировании часто применяется косая черта /.
Названия компонентов помогают формулировать правило проверки:
делитель × частное = делимое.
Если 20 : 5 = 4, то 5 × 4 = 20. Поэтому деление называют действием, обратным умножению.
Два смысла деления
Пусть есть 18 яблок. Если их нужно поровну разложить на 3 тарелки, неизвестен размер каждой части: 18 : 3 = 6 яблок. Это деление на равные доли.
Если же в каждый пакет кладут по 3 яблока, неизвестно число пакетов: 18 : 3 = 6 пакетов. Вычисление совпало, но вопрос другой. В первом случае делитель обозначал количество групп, во втором – количество предметов в группе.
Понимание смысла полезнее механического поиска ключевого слова. Фраза «в три раза меньше» часто указывает на деление на 3, но задачу всё равно следует представить: какое количество известно и что именно требуется узнать.
Деление с остатком
Не каждое целое число делится на другое нацело. Если 17 предметов разложить в группы по 5, получатся 3 полные группы и останутся 2 предмета:
17 = 5 × 3 + 2.
Здесь 3 – неполное частное, 2 – остаток. Остаток всегда неотрицателен и меньше делителя. Если бы остаток был равен 5 или больше, из него можно было бы составить ещё одну полную группу.
Ответ зависит от ситуации. Для перевозки 17 человек на машинах по 5 мест трёх машин недостаточно, поэтому потребуется четыре. А при подсчёте полных коробок товара ответом могут быть три коробки и два оставшихся предмета. Математический результат нужно истолковать в контексте.
Как деление связано с дробью
Если результат не является целым, его можно записать дробью. Деление 3 пирогов между 4 людьми даёт каждому 3/4 пирога. Дробная черта фактически означает деление числителя на знаменатель, поэтому обыкновенная дробь представляет точное частное.
Результат можно записать и десятичной дробью: 3 : 4 = 0,75. Но не все дроби имеют конечную десятичную запись. Например, 1 : 3 = 0,333…, где цифра 3 повторяется без конца. Обыкновенная дробь 1/3 в этом случае сохраняет точное значение без бесконечной строки цифр.
Почему нельзя делить на ноль
Деление должно отвечать на вопрос, какое число при умножении на делитель даёт делимое. Для выражения 6 : 0 пришлось бы найти число x, для которого 0 × x = 6. Но ноль, умноженный на любое число, остаётся нулём. Подходящего значения нет.
Выражение 0 : 0 тоже не определено. Любое число при умножении на ноль даёт ноль, поэтому единственного частного выбрать невозможно. При этом ноль можно делить на любое ненулевое число: 0 : 7 = 0.
Нельзя заменять запрещённое деление утверждением, будто ответ равен бесконечности. При приближении делителя к нулю значения могут расти по модулю, но с разных сторон вести себя по-разному. Это не создаёт обычного числового результата для деления на ноль.
Основные свойства
Если число разделить на 1, оно не изменится: a : 1 = a. Если ненулевое число разделить само на себя, получится 1: a : a = 1. Деление суммы на число можно выполнить по частям, когда каждое слагаемое удобно делится: (24 + 12) : 6 = 24 : 6 + 12 : 6.
Переставлять делимое и делитель нельзя: 12 : 3 = 4, но 3 : 12 = 0,25. Нельзя и произвольно менять порядок последовательных действий. В отличие от сложения и умножения, деление не обладает свойством перестановки.
Зато частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое число. Поэтому 4,2 : 0,6 можно превратить в 42 : 6. Оба числа увеличились в десять раз, но их отношение осталось прежним.
Как проверять результат
При делении без остатка умножьте частное на делитель. При делении с остатком к произведению добавьте остаток. Для 47 : 6 = 7 с остатком 5 проверка выглядит так: 6 × 7 + 5 = 47.
Полезна и оценка. Если 398 делят на 8, результат должен быть около 50, потому что 400 : 8 = 50. Ответ 497 сразу выглядит невозможным. Оценка не заменяет точное вычисление, но быстро обнаруживает лишнюю цифру или неверно поставленную запятую.
Единицы измерения помогают истолковать частное. Если 120 километров разделить на 3 часа, получится 40 километров в час. Если 12 литров разделить между 4 сосудами, результат измеряется литрами на сосуд. Одинаковое число может иметь разный физический смысл.
При последовательном делении скобки важны. Выражение 24 : 6 : 2 выполняют слева направо и получают 2. Запись 24 : (6 : 2) даёт 8. Делители нельзя произвольно перегруппировать, как множители.
Итак, деление описывает равное распределение и измерение количества групп. Его правила становятся понятнее, если каждый раз связывать запись с обратным умножением, учитывать остаток и помнить, что делитель не может быть равен нулю.
