Квадрат числа – это результат умножения этого числа на само себя. Запись 7² означает 7 × 7, поэтому 7² = 49. Числа, которые получаются при возведении целых чисел в квадрат, называют полными квадратами: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Название связано с геометрией: соответствующее количество одинаковых точек или клеток можно расположить в виде квадрата с равным числом рядов и столбцов.
Что означает маленькая двойка
В выражении a² число 2 называется показателем степени, а a – основанием степени. Показатель сообщает, сколько одинаковых множителей участвует в произведении. Поэтому a² = a × a. Это не то же самое, что умножение на два: 5² равно 25, а 5 × 2 равно 10.
Квадрат можно вычислять для целых, дробных, отрицательных и других чисел. Например, 0,5² = 0,25, потому что 0,5 × 0,5 = 0,25. Работа с такими выражениями становится понятнее, если уверенно представлять, что такое дробь.
Отрицательное число при возведении в квадрат даёт неотрицательный результат: (−3)² = 9. Два отрицательных множителя при умножении образуют положительное число. Скобки здесь важны. Запись (−3)² означает (−3) × (−3), а запись −3² по обычному порядку действий означает противоположное числу 3², то есть −9.
Почему результат называют квадратом
Представим квадратную площадку, сторона которой состоит из четырёх одинаковых клеток. В каждом из четырёх рядов находится по четыре клетки, всего 4 × 4 = 16. Площадь квадрата со стороной 4 условные единицы равна 4² = 16 квадратных единиц.
Геометрическая модель работает для любого положительного целого числа. Одна точка образует квадрат 1 × 1, четыре точки – 2 × 2, девять – 3 × 3. Поэтому последовательность полных квадратов можно буквально выкладывать на клетчатой бумаге. Между соседними квадратами появляются Г-образные слои из нечётного числа клеток.
Например, чтобы превратить квадрат 3 × 3 в квадрат 4 × 4, нужно добавить семь клеток: 9 + 7 = 16. Следующий слой содержит девять клеток: 16 + 9 = 25. Отсюда следует красивое свойство: сумма первых n нечётных положительных чисел равна n². Так, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².
Какие числа являются полными квадратами
Полный квадрат целого числа можно записать как n², где n – целое. Первые значения удобно запомнить:
| n | n² |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
Не каждое положительное число является полным квадратом. Например, 20 находится между 4² = 16 и 5² = 25, поэтому не может быть квадратом целого числа. При этом у любого неотрицательного действительного числа есть квадратный корень, который не обязательно целый. Квадратный корень из 20 приблизительно равен 4,472.
Как распознать полный квадрат
Для небольших значений достаточно таблицы квадратов. Для больших помогают свойства разрядов и разложение на простые множители. Квадрат целого числа в десятичной записи может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Если число заканчивается на 2, 3, 7 или 8, оно точно не является полным квадратом. Обратное неверно: окончание на 4 ещё не доказывает, что число квадратное.
В разложении полного квадрата на простые множители каждый показатель чётный. Например, 144 = 2⁴ × 3², поэтому 144 = (2² × 3)² = 12². У числа 72 = 2³ × 3² показатель при двойке нечётный, следовательно, 72 не является полным квадратом.
Ещё один способ – найти два соседних известных квадрата. Если 30² = 900, а 31² = 961, то любое целое число между 900 и 961 не может быть квадратом целого числа.
Как связаны квадрат и квадратный корень
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня являются обратными действиями с важным уточнением. Главный квадратный корень из 49 равен 7. Но уравнение x² = 49 имеет два решения: x = 7 и x = −7, потому что квадраты обоих чисел равны 49.
Для действительных чисел квадрат не бывает отрицательным. Поэтому у отрицательного числа нет действительного квадратного корня. В более широкой системе комплексных чисел такие корни определены, но это уже другая тема.
Чем квадрат отличается от куба
Во второй степени число участвует как два одинаковых множителя: a² = a × a. В третьей степени множителей три: a³ = a × a × a. Геометрически квадрат связан с площадью, а куб – с объёмом. Например, 4² = 16, тогда как 4³ = 64. Подробно третья степень разобрана в статье что такое числа в кубе.
Термин «квадрат» встречается и вне арифметики, но не всегда обозначает степень. Например, в живописи форма может быть самостоятельным художественным образом, что показывает материал о том, почему «Чёрный квадрат» Малевича считают шедевром.
Где используют квадраты чисел
Квадраты появляются в формулах площади, теореме Пифагора, физике, статистике и компьютерных вычислениях. Расстояние между точками на плоскости рассчитывают через сумму квадратов разностей координат. В статистике квадраты отклонений не позволяют положительным и отрицательным разностям взаимно уничтожиться. В физике кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости.
Квадраты полезны и при оценке масштаба. Если сторону квадратного участка увеличить в три раза, его площадь вырастет не втрое, а в девять раз. По той же причине увеличение разрешения квадратного изображения по каждой стороне в два раза создаёт примерно в четыре раза больше пикселей. Понимание второй степени помогает заранее оценить, насколько быстро возрастут площадь, объём вычислений или величина, заданная квадратичной формулой.
При вычислениях полезно сначала оценить порядок результата. Квадрат двузначного положительного числа от 10 до 99 находится между 100 и 9801. Такая грубая граница помогает заметить потерянный разряд или случайную замену возведения в степень обычным удвоением. После точного расчёта результат можно проверить обратным действием – извлечением квадратного корня.
Главное правило остаётся простым: возвести число в квадрат – значит умножить его на себя. Геометрическая модель с равными рядами объясняет название, а свойства полных квадратов помогают проверять вычисления и решать уравнения.
