Как записывать и выражать математические соотношения

Математическое соотношение показывает, как две величины связаны друг с другом. Если нужно сравнить их значения, используют знаки =, ≠, <, > и их варианты. Если важно показать, во сколько раз одна величина больше другой или как части распределены между собой, записывают отношение a : b. Равенство двух отношений называется пропорцией.

Поэтому сначала нужно понять смысл сравнения, а уже затем выбирать знак. Записи 6 > 4, 6 : 4 и 6 = 4 + 2 содержат одни и те же числа, но отвечают на разные вопросы.

Знаки равенства и неравенства

Самый простой вид соотношения – сравнение двух чисел или выражений.

Знак читают слева направо. Запись 3 < 8 означает «три меньше восьми», а 8 > 3 – «восемь больше трёх». Обе записи верны и выражают одно сравнение с разных сторон.

Удобная подсказка для знаков < и >: узкая сторона направлена к меньшему числу, широкая – к большему. Но лучше не полагаться только на рисунок, а каждый раз проговаривать запись словами.

Знаки ≤ и ≥ включают два возможных случая. Например, условие возраст ≥ 18 подходит и человеку ровно 18 лет, и человеку старше. Если написать возраст > 18, значение 18 уже не войдёт в допустимый диапазон.

Что такое отношение двух величин

Отношение показывает результат деления одной величины на другую. Его можно записать тремя способами:

• a : b;
• a / b;
• словами «a к b».

Например, в коробке лежат 8 синих и 4 красных карандаша. Отношение числа синих карандашей к числу красных равно 8 : 4, или после сокращения 2 : 1. Это значит, что на каждый красный карандаш приходится два синих.

Порядок чисел важен. Отношение синих карандашей к красным равно 2 : 1, а красных к синим – 1 : 2. Менять числа местами без изменения смысла нельзя.

Отношение тесно связано с обыкновенной дробью, поскольку запись 8 : 4 соответствует делению 8 / 4. Однако в задаче отношение часто сохраняют в виде пары чисел, чтобы было видно сравниваемые части. Подробнее устройство такой записи объясняет материал о том, как называются части дроби.

Почему единицы измерения нужно привести к одному виду

Перед сравнением однородных величин их выражают в одинаковых единицах. Нельзя сразу сокращать отношение 2 метров к 50 сантиметрам как 2 : 50, потому что числа относятся к разным единицам.

Сначала переведём 2 метра в 200 сантиметров:

200 см : 50 см = 4 : 1.

Теперь видно, что первая длина в четыре раза больше второй. После деления одинаковые единицы сокращаются.

Если сравниваются величины разного рода, например расстояние и время, получается не обычное безразмерное отношение, а величина с единицами: километры в час, рубли за килограмм, литры на сто километров. Такую запись часто называют скоростью, тарифом или удельным показателем в зависимости от задачи.

Чем отношение отличается от пропорции

Отношение сравнивает две величины, а пропорция утверждает, что два отношения равны:

a : b = c : d.

Например:

2 : 3 = 8 : 12.

Обе пары выражают одну зависимость, потому что 2 / 3 и 8 / 12 имеют одинаковое значение. Проверить пропорцию можно по произведениям крайних и средних членов:

2 × 12 = 3 × 8.

В обоих случаях получается 24. Если произведения не равны, пропорция составлена неверно.

Пропорции применяют при изменении рецепта, чтении карты, расчёте материалов и переводе масштаба. Отдельно этот вид равенства разобран в статье «Что такое пропорции?». Практический пример можно увидеть в объяснении того, как рассчитать масштаб макета.

Как выразить соотношение в процентах

Процент – это отношение к ста. Чтобы узнать, какую долю целого составляет часть, её делят на целое и умножают результат на 100 процентов.

Например, из 20 задач решено 15:

15 / 20 × 100% = 75%.

Здесь 15 – часть, а 20 – целое. Если перепутать их местами, получится другое число и другой смысл.

Процент удобен, когда нужно сравнить результаты с разными общими количествами. Ученик, решивший 18 задач из 20, и ученик, решивший 27 из 30, оба выполнили 90 процентов работы, хотя абсолютные числа различаются.

Как выбрать правильную запись

Перед решением полезно задать себе один вопрос: что именно требуется показать?

• Одинаковы ли значения – используйте = или ≠.
• Какое значение больше – используйте <, >, ≤ или ≥.
• Во сколько раз величины различаются – найдите их отношение.
• Как распределены части – запишите отношение вида 2 : 3.
• Равны ли два отношения – составьте пропорцию.
• Какую долю от целого составляет часть – используйте дробь или проценты.

После записи проговорите её обычными словами и проверьте порядок величин. Это простое действие помогает заметить большинство ошибок ещё до вычислений.

Итак, универсального знака для всех математических соотношений нет. Равенство, неравенство, отношение, пропорция и процент описывают разные связи. Правильная запись начинается не со знака, а с понимания того, что именно сравнивается.