Десятичная дробь – это способ записать целое число и части единицы с помощью разрядов, разделённых запятой. Например, 3,47 означает три целых, четыре десятых и семь сотых. Такая запись особенно удобна для измерений, денег и вычислений, потому что каждый следующий разряд справа в десять раз меньше предыдущего.
Как устроена десятичная запись
Слева от запятой находятся привычные разряды целых чисел: единицы, десятки, сотни. Справа идут десятые, сотые, тысячные и далее. В числе 12,305 цифра 1 обозначает один десяток, 2 – две единицы, 3 – три десятых, 0 – отсутствие сотых, а 5 – пять тысячных.
Ноль внутри записи нельзя бездумно убирать. Числа 12,305 и 12,35 различаются: первое содержит 305 тысячных, второе – 350 тысячных. Зато нули в конце дробной части значения не меняют: 4,7, 4,70 и 4,700 обозначают одно число. Дополнительные нули лишь показывают точность записи или помогают выровнять разряды при вычислении.
Десятичную дробь можно представить как сумму разрядных слагаемых:
6,284 = 6 + 2/10 + 8/100 + 4/1000.
Так становится видна связь с обыкновенными дробями. Конечная десятичная дробь всегда выражается дробью со знаменателем 10, 100, 1000 или другой степенью десяти.
Как читать и записывать дроби
Число 5,08 читают как «пять целых восемь сотых». Ноль показывает, что десятых нет. Запись «две целых сорок три тысячных» имеет вид 2,043: после запятой нужны три позиции, потому что речь идёт о тысячных.
Чтобы не ошибиться, полезно сначала определить название последнего разряда. Если это сотые, после запятой должно быть две цифры; если тысячные – три. Затем недостающие позиции заполняют нулями. Запятая не просто обозначает паузу при чтении, а отделяет целую часть от дробной.
В некоторых странах вместо запятой используют точку. В русскоязычной математической записи принято писать 2,5, а в программировании и многих международных документах можно встретить 2.5. Смысл числа при этом одинаков, но внутри одного вычисления обозначения смешивать не следует.
Как сравнивать десятичные дроби
Сначала сравнивают целые части. Число 7,02 больше 6,99, потому что семь целых больше шести. Если целые части равны, дроби удобно дополнить нулями до одинаковой длины и сравнивать разряды слева направо.
Например, сравним 3,4 и 3,38. Запишем первое число как 3,40. Целые и десятые сначала совпадают только до запятой, затем четыре десятых больше трёх десятых, поэтому 3,40 > 3,38. Число с более длинной дробной частью не обязательно больше: 0,125 меньше 0,8, хотя цифр после запятой у него больше.
На числовой прямой большее число всегда расположено правее. Этот способ помогает увидеть, что −1,2 больше −1,7: среди отрицательных чисел ближе к нулю находится большее значение.
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании десятичные дроби записывают так, чтобы запятые оказались одна под другой. Тогда единицы складываются с единицами, десятые – с десятыми, сотые – с сотыми. При необходимости справа приписывают нули:
4,7 + 2,35 = 4,70 + 2,35 = 7,05.
Правило опирается на разрядный смысл записи. Если сдвинуть одно число и совместить не те разряды, получится сложение величин разного размера. Общий смысл операции подробнее разобран в статье «Что такое сложение?».
Вычитание выполняют так же. В примере 8,2 − 0,46 удобно записать 8,20 − 0,46, после чего получить 7,74. Ноль не изменил исходное число, но сделал разряды наглядными.
Умножение и деление
При умножении на 10, 100 или 1000 запятая перемещается вправо соответственно на один, два или три разряда: 2,47 × 100 = 247. Если цифр не хватает, добавляют нули. При делении на эти числа запятая движется влево: 35,6 : 100 = 0,356.
При умножении двух десятичных дробей сначала можно выполнить действие как с целыми числами, а затем отделить справа столько знаков, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе. Например, в 1,2 × 0,3 всего два таких знака, поэтому результат равен 0,36. Почему произведение можно понимать как прямоугольный массив или масштабирование, объясняет материал «Что такое умножение?».
При делении на десятичную дробь делитель превращают в целое число, одинаково перемещая запятую в делимом и делителе. Так 4,2 : 0,6 преобразуется в 42 : 6, что даёт 7. Одинаковое умножение обоих чисел на 10 не меняет частного.
Как округлять число
Округление заменяет число близким значением с меньшим количеством разрядов. Сначала выбирают разряд, который нужно сохранить, затем смотрят на следующую цифру. Если она меньше 5, сохранённая цифра не меняется; если равна 5 или больше, её увеличивают на единицу.
Число 6,274, округлённое до сотых, станет 6,27, потому что следующая цифра равна 4. Число 6,278 станет 6,28. Округлённое значение удобно, но оно уже не всегда точно равно исходному, поэтому в промежуточных вычислениях преждевременное округление способно накопить ошибку.
Где встречаются десятичные дроби
Ими записывают длину 1,75 м, массу 2,4 кг, температуру, время в расчётах и денежные суммы. Однако единицы нужно учитывать: запись 1,5 часа означает один час и половину часа, то есть 1 час 30 минут, а не 1 час 50 минут. Десятичная часть относится к выбранной единице.
Главное в работе с десятичными дробями – видеть за каждой цифрой её разряд. Тогда нули, перенос запятой и правила действий перестают быть набором загадочных приёмов: все они следуют из того, что соседние позиции различаются ровно в десять раз.
