Дробь – это запись числа как отношения двух величин: a/b, где a называют числителем, b – знаменателем, а знаменатель не может быть равен нулю. В простой модели знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель – сколько таких частей взяли. Например, 3/4 означает три части из четырёх равных частей одного целого.
Что показывают числитель и знаменатель
В дроби 5/8 число 8 стоит в знаменателе. Оно задаёт размер одной доли: целое разделено на восемь равных частей. Число 5 в числителе сообщает количество выбранных долей. Если части не равны, описывать их одной такой дробью нельзя.
Дробная черта означает деление. Поэтому 5/8 – это результат 5 ÷ 8. Такое понимание шире рисунка с пирогом: дробь может описывать часть целого, отношение двух длин, вероятность, скорость или точку на числовой прямой.
Знаменатель ноль запрещён, потому что деление на ноль не определено. Нельзя распределить величину на ноль групп и получить однозначный размер группы. При этом числитель может быть нулём: 0/7 = 0.
Какие дроби бывают
Правильной называют положительную дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 3/5. Её значение находится между нулём и единицей. У неправильной дроби числитель не меньше знаменателя: 7/5 или 5/5. Такая дробь равна единице или больше неё.
Неправильную дробь можно записать смешанным числом. Например, 7/5 = 1 2/5, потому что в семи пятых содержится одно целое из пяти пятых и ещё две пятых. Обратное преобразование выполняют так: целую часть умножают на знаменатель и добавляют числитель.
Дроби могут быть отрицательными. Записи −3/4, 3/(−4) и −(3/4) обозначают одно число. Если и числитель, и знаменатель отрицательны, знаки сокращаются: (−3)/(−4) = 3/4.
Почему разные записи обозначают одну дробь
Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, значение не изменится. Например, 1/2 = 2/4 = 3/6. На рисунке половина круга остаётся той же областью, даже если каждую половину дополнительно разделить на две или три части.
Это основное свойство дроби позволяет сокращать запись. В дроби 12/18 числитель и знаменатель делятся на 6, поэтому 12/18 = 2/3. Дробь 2/3 несократима, потому что 2 и 3 не имеют общего делителя больше единицы.
Равенство можно проверить перекрёстным умножением. Дроби a/b и c/d равны, если ad = bc при ненулевых знаменателях. Для 2/3 и 8/12 получаем 2 × 12 = 24 и 3 × 8 = 24.
Как сравнивать дроби
Если знаменатели одинаковы, больше дробь с большим числителем: 5/9 > 2/9. Размер доли одинаков, но в первом случае таких долей больше. Если числители одинаковы и дроби положительны, больше дробь с меньшим знаменателем: 1/3 > 1/5, потому что треть целого крупнее пятой части.
Для разных числителей и знаменателей дроби приводят к общему знаменателю. Чтобы сравнить 2/3 и 3/5, можно использовать знаменатель 15: 2/3 = 10/15, а 3/5 = 9/15. Значит, 2/3 больше.
Другой способ – перекрёстное умножение. Для положительных знаменателей сравнивают произведения 2 × 5 и 3 × 3. Поскольку 10 > 9, первая дробь больше. На числовой прямой большее число расположено правее.
Как складывать и вычитать дроби
Складывать числители можно только у долей одинакового размера. Поэтому при равных знаменателях знаменатель сохраняют: 2/7 + 3/7 = 5/7. Ошибочная запись 5/14 означала бы совсем другой размер доли.
При разных знаменателях сначала находят общий. Например, 1/3 + 1/4. Общим знаменателем может быть 12: 1/3 = 4/12, а 1/4 = 3/12. Сумма равна 7/12. После вычисления результат сокращают, если это возможно.
Вычитание выполняется аналогично. Из 5/6 вычтем 1/4. Общий знаменатель 12: 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12, поэтому разность равна 7/12.
Как умножать и делить дроби
При умножении перемножают числители и отдельно знаменатели: 2/3 × 5/7 = 10/21. Перед умножением удобно сокращать общие множители числителей и знаменателей, чтобы не получать большие числа.
Деление на дробь заменяют умножением на обратную: 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10. Обратная к a/b дробь равна b/a, если a не равен нулю. Делить на ноль нельзя, поэтому у нулевой дроби нет обратной.
Возведение дроби в степень действует и на числитель, и на знаменатель. Например, (2/3)² = 4/9. Смысл второй степени подробнее объясняет статья что такое квадрат числа, а третьей – материал о кубических числах.
Как дробь связана с десятичным числом и процентом
Поскольку дробная черта означает деление, обычную дробь можно переводить в десятичную. 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. У некоторых дробей запись конечная, у других периодическая: 1/3 = 0,333…
Процент – это сотая доля. Чтобы представить 3/4 в процентах, дробь умножают на 100% и получают 75%. Обратное преобразование тоже просто: 35% = 35/100 = 7/20. Другой удобный способ записи частей целого разобран в статье о том, что такое десятичные дроби.
Любое целое число можно представить дробью со знаменателем 1: 7 = 7/1. Числа, которые записываются как отношение двух целых при ненулевом знаменателе, называют рациональными. К ним относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
Главное при работе с дробью – помнить смысл равных частей и деления. Знаменатель задаёт размер доли, числитель считает доли, а общее свойство дроби позволяет менять форму записи без изменения значения.
