В основе любой теории лежит какой-нибудь незыблемый постулат. Это та база, которая не требует доказательств, и в рамках данной теории принимается безоговорочно. Это и есть аксиома-постулат, не требующий доказательств. Понятно, что с этим можно и поспорить. Ведь любую, даже самую правдивую теорию, можно подвергнуть сомнению. Но при таком проходе создать целый ряд наук было бы просто невозможно. Не было бы той же евклидовой геометрии, которая базируется на пятом постулате, а также других наук. К тому же, никакую теорему доказать без аксиомы невозможно. Этот постулат необычайно важен, так как именно на него опирается любое доказательство. Без аксиомы любое утверждение нуждалось бы в доказательстве, и этот процесс был бы бесконечным. Чтобы этого не произошло, нужно отдельные утверждения выставлять в качестве аксиомы, и принимать без доказательства.
Другое дело, как относиться к этим аксиомам. Их можно либо принять, либо отвергнуть. То есть, в данном случае мы говорим об истинности аксиом. Но это уже совершенно другой вопрос, который решается в рамках каждой отдельной теории.
В научных кругах есть такой термин, как степень аксиоматизации теории. Он отражает количество аксиом, которым подчинены отношениям между всеми изучаемыми в данной теории объектами. Все дальнейшие теоремы и утверждения должны базироваться на этих аксиомах. Что касается набора аксиом, то он выбирается, исходя из чисто логических рассуждений, которые не должны вступать в противоречия друг с другом.
Математик Курт Гедель доказал, что математических аксиомных систем может быть сколько угодно. На их основании большинство математических утверждений невозможно ни доказать, ни опровергнуть. При этом такая система ни в коем разе не будет противоречивой. Свой труд Гедель назвал «теоремой о неполноте».
Первым аксиомы стал использовать Аристотель. Присутствуют они в математических учениях Древних Греков, а также в математике Евклида. Древние ученые считали аксиому очевидной истиной, не нуждающейся в доказательстве. Аналогичным образом интерпретирует понятие аксиомы и Даль.
Все изменилось с появлением геометрии Лобачевского. Он попытался опровергнуть некоторые аксиомы Евклида в научном труде, который получил название неевклидова геометрия. Так, например, он высказывал мнение, что пятый постулат Евклида, касающийся непересекающихся параллельных прямых, является всего лишь частным случаем, и не может быть использован для пространства с «отрицательной кривизной».
Так, или иначе, но пятый постулат Евклида оказался аксиомой, принятой за основу без доказательств. Это говорит о том, что его не следует доказывать, так как это приведет к возникновению целого ряда противоречий. Пусть пятый постулат и вызывал у Лобачевского определенные сомнения, но именно на его основе была построена геометрическая система Евклида.
Идеи Лобачевского также не были оставлены без внимания. Они получили свое развитие в новом виде непротиворечивой геометрии, которая получила название геометрии Лобачевского. Она также базируется на математической системе аксиом.
Аксиоматизацию математики выполнял и Гильберт. Он считал, что это необходимо сделать для доказательства ее непротиворечивости. Осуществить задуманное он так и не смог, ввиду появления теорем Геделя о «неполноте». Но это уже иная история.
